Doğuştan ayrıcalıklı olmasına rağmen l'Hôpital, zamanının geleneksel aristokrat kariyerlerine meydan okuyarak hayatını kalkülüs dünyasına adamayı seçti. Özellikle matematiğe duyduğu yoğun ilgi, onu yeni kalkülüsün sağladığı araştırma fırsatlarından hoşlanan İsviçreli matematikçi Johann Bernoulli'yi aramaya yöneltti.

Küçük yaşta ortaya çıkan matematik yeteneğini, yakını görememesi sebebiyle ayrıldığı orduda çalıştığı kısa sürede geliştirdi. 1691'den sonra Jean Bernoulli'nin yardımıyla, o günler olgunlaşmakta olan sonsuz küçükler hesabına ilişkin araştırmalar yapmaya başladı. Kısa zamanda bu konudaki problemlere çağdaşları Newton, Leibniz ve Bernoulli ile aynı zamanda çözüm bulacak kadar egemen oldu.

Diferansiyel hesap üstüne Analyse des infiniment petits pour l'intélligence des lignes courbes (Eğri Çizgilerin Kavranması için Sonsuz Küçükler Analizi -1696 yılında) isimli bir inceleme yazdı. Bu inceleme yazısı sonsuz küçükler hesabını tam olarak açıklayabilen ilk eserdir. Kendi adını taşıyan ünlü l'Hôpital kuralını da bu kitapta açıklamıştır.

l'Hôpital, Bernoulli'nin öğretilerini benimsedi, tekniklerde hızla ustalaştı ve karmaşık matematiksel sorunları ele alma potansiyellerini keşfetti. Kalkülüsün prensiplerine ilişkin sağlam anlayışı, 1696'da yayınlanan 'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes' adlı magnum opus'unun yani "büyük iş"inin temelini oluşturdu. Bu kitap, kalkülüs üzerine yayınlanmış ilk giriş metnidir ve sonsuz küçükler hesabını açıkladığı için büyük beğeni toplayan ufuk açıcı bir eser olmaya devam etmektedir.

l'Hôpital'in en önemli katkılarından biri, kendi adını taşıyan 'l'Hôpital Kuralı'dır. Bu kural, x değişkeni belirli bir sayıya yaklaştıkça her ikisi de sıfıra veya her ikisi de sonsuza yaklaşan herhangi iki fonksiyon için, iki fonksiyonun bölümünün limitinin türevlerinin bölümünün limitine eşit olduğunu belirtir. Bu kural, aksi takdirde matematikçiler için bir muamma oluşturacak belirsiz formlarla başa çıkmada önemli ölçüde yardımcı oldu.

Bernoulli'nin 'l'Hôpital Kuralı'nın kendi çalışması olduğunu iddia etmesi nedeniyle, çalışmalarının bir kısmının orijinalliği konusunda süregelen tartışmalara rağmen, l'Hôpital'in kalkülüs bilimine katkıları yadsınamaz derecede önemlidir. Sadece teorilerin ötesinde, kalkülüsü kavramla mücadele eden birçok kişi için kolayca anlaşılabilir hale getirerek modernleştirdi.

Akademik uğraşları dışında l'Hôpital sakin bir yaşam sürdü ve bilimleri hevesle destekledi. Fransız Bilimler Akademisi'nin önde gelen bir üyesiydi ve gelecek vaat eden matematik akademisyenlerine cömert himayeler sundu. Marie-Charlotte de Romilly de la Chesnelaye ile evli kaldı ve bu evlilikten bir oğlu oldu. Guillaume de l'Hôpital 1704 yılında vefat etti ve ardında kalkülüsün dokusuyla örülmüş büyük bir miras bıraktı.

Özellikle sonsuz küçükler hesabının gizemini çözme konusundaki çalışmaları, gelecekteki matematiksel keşiflerin önünü açmış ve onu kalkülüs alanında öncü bir figür haline getirmiştir. Matematiğe olan bağlılığı, kalkülüsün heyecan verici ve karmaşık dünyasında gezinen sonraki nesillere ilham vermeye devam ediyor.

Türevin Tanımı

$f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ bir fonksiyon ve $c \in (a,b)$ olsun. $\lim_{x \rightarrow c} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}$ limitine (varsa) f fonksiyonunun c noktasındaki türevi denir ve $f'(c)$ ile veya $\dfrac{dy}{dx}$ şeklinde gösterilir.

f fonksiyonunun bir c noktasında türevi varsa bu türev bir tektir.

$f’$ türev fonksiyonunun tanım kümesi f fonksiyonunun tanım kümesinin alt kümesidir.

Bir noktadaki türev o noktadaki teğetin eğimine eşittir.

Teğete değme noktasında dik olan doğruya normal denir.

Bir f fonksiyonu c noktasında türevli ise süreklidir. Bu ifadeden iki sonuç çıkar:

1- f fonksiyonu c noktasında sürekli değilse türevli de değildir.

2- f fonksiyonu c noktasında sürekli olduğu halde türevli olmayabilir.

$y=||g(x)||$ tam değer fonksiyonunun x=c noktasında türevi varsa bu 0’dır.

$y=sgn f(x)||$ işaret fonksiyonunun x=c noktasında türevi varsa bu 0’dır.

$f(x)=k$ ($k \in \mathbb{R}$ olmak üzere) bir sabit fonksiyonsa türevi 0’dır.

$f(x)=x^{n}$ fonksiyonunun türevi $f(x)=n.x^{n-1}$ şeklindedir.

Toplamın türevi, terimlerin türevleri toplamına eşittir. Yani $[f(x)+g(x)]’=f'(x)+g'(x)$ şeklindedir.

Çarpımın türevi ise $[f(x).g(x)]’=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$ şeklindedir.

Bölümün türevi ise $[\dfrac{f(x)}{g(x)}]’=\dfrac{f'(x).g(x)-g'(x).f(x)}{g^{2}(x)}$ şeklindedir.

Karekök fonksiyonunun türevi $f(x)=\sqrt{x} \Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ şeklindedir.

Karekök fonksiyonu içinde verilen fonksiyonun türevi $f(x)=\sqrt{u(x)} \Rightarrow f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ şeklindedir.

Bileşik fonksiyonun türevi ve zincir kuralını hatırlayalım: y=f(u) ve u=g(x) olmak üzere bileşke fonksiyonu y=f[g(x)]=(fog)(x) şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi zincir kuralı dediğimiz şu kuralla bulunur: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}.\dfrac{du}{dx}$

Bu gösterimi sözle ifade edersek; bileşke fonksiyonun türevi y’nin u’ya, u’nun x’e göre türevidir. Kısaca bileşke fonksiyonun türevi $[(fog)(x)]’=f'[g(x)].g'(x)$ şeklindedir.

Bileşke fonksiyonunun türevini bulma hususunda şu örneği yapalım:

Örnek: $y=u^{3}+5u^{2}-1$ ve $u=\sqrt{x^{2}-x+1}$ ise $\dfrac{dy}{dx}$’i bulalım.

ÇÖZÜM: Önce y’nin u’ya göre türevini yani $\dfrac{dy}{du}$ ifadesini bulalım:

$y=u^{3}+5u^{2}-1 \Rightarrow \dfrac{dy}{du}=3u^{2}+10u$

Şimdi de u’nun x’e göre türevini yani $\dfrac{du}{dx}$ ifadesini bulalım:

$u=\sqrt{x^{2}-x+1} \Rightarrow \dfrac{du}{dx}=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x+1}}$

Zincir kuralına göre $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}.\dfrac{du}{dx}$ olduğundan

Şimdi u’nun değerini yerine yazarsak

istenendir.

Periyodik fonksiyonun türevi de periyodiktir.

Tek fonksiyonun türevi çift, çift fonksiyonun türevi tektir.

Ters fonksiyonun türevi $(f^{-1}(y))’=\dfrac{1}{f'(d)}$ şeklindedir.

A ve B kümeleri reel sayılar kümesinin iki alt kümesi, $f:A \rightarrow B$ fonksiyonu bire bir ve örten olsun. f fonksiyonu $c \in A$ noktasında türevli ve $f'(x) \neq 0$ ise $f^{-1}:B \rightarrow A$ fonksiyonu da c’nin f altındaki görüntüsü olan d noktasında türevlidir.

Böylece ters fonksiyonun türevi yukarıdaki gibi bulunur.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri

$f(x)=\sin x \Rightarrow f'(x)=\cos x$

$f(x)=\cos x \Rightarrow f'(x)=-\sin x$

$f(x)=\tan x \Rightarrow f'(x)=\sec^{2} x$ veya $f(x)=\tan x \rightarrow f'(x)=1+\tan^{2} x$ ($\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$ olduğunu hatırlayınız).

$f(x)=\cot x \rightarrow f'(x)=-\csc^{2} x$ veya $f(x)=\cot x \rightarrow f'(x)=-(1+\cot^{2} x)$ ($\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$ olduğunu hatırlayınız. csc, kosekant demek olup bazı kitaplarda cosec olarak da gösterilebilir).

$u=g(x)$ fonksiyonunun bir c noktasındaki türevi $u’$ olsun. Buna göre:

$f(x)=\sin u \Rightarrow f'(x)=u’. \cos u$

$f(x)=\cos u \Rightarrow f'(x)=-u. \sin u$

$f(x)=\tan u \Rightarrow f'(x)=u’. \sec^{2} u$ veya $f(x)=\tan u \rightarrow f'(x)=u’.(1+\tan^{2} u)$

$f(x)=\cot u \Rightarrow f'(x)=-u’. \csc^{2} u$ veya $f(x)=\cot u \rightarrow f'(x)=-u’.(1+\cot^{2} u)$

$f(x)=\arctan x \Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}, x \in \mathbb{R}$

$f(x)=arccot x \Rightarrow f'(x)=\dfrac{-1}{1+x^{2}}, x \in \mathbb{R}$

$u=g(x)$ fonksiyonunun bir c noktasındaki türevi $u’$ olsun. Buna göre:

$f(x)=\arcsin u \Rightarrow f'(x)=\dfrac{u’}{\sqrt{1-u^{2}}}$

$f(x)=\arccos u \Rightarrow f'(x)=\dfrac{-u’}{\sqrt{1-u^{2}}}$

$f(x)=\arctan u \Rightarrow f'(x)=\dfrac{u’}{1+u^{2}}$

$f(x)=arccot x \Rightarrow f'(x)=\dfrac{-u’}{1+u^{2}}$

Logaritmik fonksiyonların türevleri

$y=log_{a}^{x}$ fonksiyonu her $x \in \mathbb{R^{+}}$ noktasında türevlidir ve türevi $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x.\ln a}$ şeklindedir.

$y=\ln x$ fonksiyonu her $x \in \mathbb{R^{+}}$ noktasında türevlidir ve türevi $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}$ şeklindedir.

$u=g(x)$ fonksiyonunun bir c noktasındaki türevi $u’$ olsun.

Buna göre: $y=log_{a}^{u} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u’}{u}.\dfrac{1}{\ln a}$ şeklindedir. $y=\ln u \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u’}{u}$ şeklindedir.

Üstel fonksiyonun türevi

$a > 0$ ve $a \neq 1$ olmak üzere $y=a^{x}$ biçiminde tanımlanan üstel fonksiyon her $x \in \mathbb{R}$ noktasında türevlidir ve türevi $\dfrac{dy}{dx}=a^{x}\ln a$ şeklindedir. Burada özel olarak $a=e$ alınırsa $y=e^{x} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=e^{x}$ olur.

$u=g(x)$ fonksiyonunun bir c noktasındaki türevi $u’$ olsun. Buna göre: $y=a^{u} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=a^{u}.\ln a.u’$ ve $y=e^{u} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=e^{u}.u’$ olur.

$y=[u(x)]^{v(x)}$ biçimindeki fonksiyonların türevleri alınırken önce her iki yanın logaritması, sonra her iki yanın x’e göre türevi alınır.

Kapalı fonksiyonun türevi

$F(x,y)=0$ bağıntısından en az bir $y=f(x)$ fonksiyonu tanımlanabiliyorsa, bu bağıntıya y’nin x’e göre kapalı fonksiyonu denir. Çoğu kez bu bağıntıdan y, x türünden çözülemez. $y=f(x)$ fonksiyonunun türevini hesaplamak için birkaç yol vardır.

1. Mümkünse verilen bağıntıdan y çekilir, türev alınır.

2. $F(x,y)=0$ bağıntısında her terimin x’e göre türevi alınır. Burada y’nin x’e bağlı olduğu unutulmamalıdır.

3. y sabit tutularak ve x’e göre türev alınarak $F’_{x}$, x sabit tutularak ve y’ye göre türev alınarak $F’_{y}$ bulunur. Böylece kapalı fonksiyonun türevi $-\dfrac{F’_{x}}{F’_{y}}$ olarak bulunur.

Parametrik olarak tanımlanan fonksiyonun türevi

$y=f(x)$ fonkisyonu, $y=g(t)$ ve $x=h(t)$ biçiminde t parametresine bağlı olarak verilmişse türevi

$y’=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\dfrac{g'(t)}{h'(t)}$

olarak bulunur.

Oldukça korkutucu görünüyor değil mi? Hiçte korkutucu değil. Bu integrali hesaplamadan önce, sekant fonksiyonunun integralini hesaplamayı görelim. Çünkü sekant küpün integralini hesaplarken lazım olacak.

Soru: $\int \sec x dx=?$

Cevap: Bu integrali hesaplamak için, integrant $\sec x + \tan x$ ile çarpılıp bölünür. Bu işlemi neden yaptığımızı birazdan anlayacaksınız. Denileni yaparsak;

Burada pay, paydanın türevi olduğuna göre en son elde edilen integral, paydanın doğal logartimasına eşittir. O zaman

olmaktadır. Sekantın integralini alabildiğimize göre şimdi, sekant fonksiyonunun küpünün integralini hesaplamaya başlayabiliriz.

Soru: $\int sec^{3}x dx=?$

Cevap: İntegrali hesaplamak için sekant fonksiyonunun kuvvetlerini parçalayalım:

Şimdi, kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. $u=\sec x$ ve $dv=\sec^{2}x dx$ diyelim. O zaman $v=\tan x$ ve $du=\tan x \sec x$ olur. Buradan devam edersek,

bulunur. Buradaki son satırda, eşitliğin sağ tarafındaki sekant küp integralini sol tarafa atar ve yukarıda bulduğumuz sekant fonksiyonunun integral değerini yerine yazarsak,

bulunur. Böylece sekant küp fonksiyonunun integralini hesaplamış oluruz.