İntegral konusuna başlamadan önce türev konusundaki eksiklerinizi gidermeniz önemlidir. Türevi anlayabilmek için de limit ve süreklilik konularını iyi kavramış olmanız gerekir. Dolayısıyla bu konulardan herhangi birinde bir eksiğiniz varsa önce o eksiklerinizi kapatmanız ve ardından integral çalışmaya başlamanız isabetli olacaktır. Bu sayfada sadece türevle ilgili tanım ve kurallar hatırlatılacaktır.
Türevin Tanımı
$f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ bir fonksiyon ve $c \in (a,b)$ olsun. $\lim_{x \rightarrow c} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}$ limitine (varsa) f fonksiyonunun c noktasındaki türevi denir ve $f'(c)$ ile veya $\dfrac{dy}{dx}$ şeklinde gösterilir.
f fonksiyonunun bir c noktasında türevi varsa bu türev bir tektir.
$f’$ türev fonksiyonunun tanım kümesi f fonksiyonunun tanım kümesinin alt kümesidir.
Bir noktadaki türev o noktadaki teğetin eğimine eşittir.
Teğete değme noktasında dik olan doğruya normal denir.
Bir f fonksiyonu c noktasında türevli ise süreklidir. Bu ifadeden iki sonuç çıkar:
1- f fonksiyonu c noktasında sürekli değilse türevli de değildir.
2- f fonksiyonu c noktasında sürekli olduğu halde türevli olmayabilir.
$y=||g(x)||$ tam değer fonksiyonunun x=c noktasında türevi varsa bu 0’dır.
$y=sgn f(x)||$ işaret fonksiyonunun x=c noktasında türevi varsa bu 0’dır.
f(x)=k ($k \in \mathbb{R}$ olmak üzere) bir sabit fonksiyonsa türevi 0’dır.
$f(x)=x^{n}$ fonksiyonunun türevi $f(x)=n.x^{n-1}$ şeklindedir.
Toplamın türevi, terimlerin türevleri toplamına eşittir. Yani $[f(x)+g(x)]’=f'(x)+g'(x)$ şeklindedir.
Çarpımın türevi ise $[f(x).g(x)]’=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$ şeklindedir.
Bölümün türevi ise $[\dfrac{f(x)}{g(x)}]’=\dfrac{f'(x).g(x)-g'(x).f(x)}{g^{2}(x)}$ şeklindedir.
Karekök fonksiyonunun türevi $f(x)=\sqrt{x} \Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ şeklindedir.
Karekök fonksiyonu içinde verilen fonksiyonun türevi $f(x)=\sqrt{u(x)} \Rightarrow f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ şeklindedir.
Bileşik fonksiyonun türevi ve zincir kuralını hatırlayalım: y=f(u) ve u=g(x) olmak üzere bileşke fonksiyonu y=f[g(x)]=(fog)(x) şeklindedir. Bu fonksiyonun türevi zincir kuralı dediğimiz şu kuralla bulunur: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}.\dfrac{du}{dx}$
Bu gösterimi sözle ifade edersek; bileşke fonksiyonun türevi y’nin u’ya, u’nun x’e göre türevidir. Kısaca bileşke fonksiyonun türevi $[(fog)(x)]’=f'[g(x)].g'(x)$ şeklindedir.
Bileşke fonksiyonunun türevini bulma hususunda şu örneği yapalım:
Örnek: $y=u^{3}+5u^{2}-1$ ve $u=\sqrt{x^{2}-x+1}$ ise $\dfrac{dy}{dx}$’i bulalım.
ÇÖZÜM: Önce y’nin u’ya göre türevini yani $\dfrac{dy}{du}$ ifadesini bulalım:
$y=u^{3}+5u^{2}-1 \Rightarrow \dfrac{dy}{du}=3u^{2}+10u$
Şimdi de u’nun x’e göre türevini yani $\dfrac{du}{dx}$ ifadesini bulalım:
$u=\sqrt{x^{2}-x+1} \Rightarrow \dfrac{du}{dx}=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^{2}-x+1}}$
Zincir kuralına göre $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}.\dfrac{du}{dx}$ olduğundan
Şimdi u’nun değerini yerine yazarsak
istenendir.
Periyodik fonksiyonun türevi de periyodiktir.
Tek fonksiyonun türevi çift, çift fonksiyonun türevi tektir.
Ters fonksiyonun türevi $(f^{-1}(y))’=\dfrac{1}{f'(d)}$ şeklindedir.
A ve B kümeleri reel sayılar kümesinin iki alt kümesi, $f:A \rightarrow B$ fonksiyonu bire bir ve örten olsun. f fonksiyonu $c \in A$ noktasında türevli ve $f'(x) \neq 0$ ise $f^{-1}:B \rightarrow A$ fonksiyonu da c’nin f altındaki görüntüsü olan d noktasında türevlidir.
Böylece ters fonksiyonun türevi yukarıdaki gibi bulunur.
Trigonometrik fonksiyonların türevleri
$f(x)=\sin x \Rightarrow f'(x)=\cos x$
$f(x)=\cos x \Rightarrow f'(x)=-\sin x$
$f(x)=\tan x \Rightarrow f'(x)=\sec^{2} x$ veya $f(x)=\tan x \rightarrow f'(x)=1+\tan^{2} x$ ($\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$ olduğunu hatırlayınız).
$f(x)=\cot x \rightarrow f'(x)=-\csc^{2} x$ veya $f(x)=\cot x \rightarrow f'(x)=-(1+\cot^{2} x)$ ($\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$ olduğunu hatırlayınız. csc, kosekant demek olup bazı kitaplarda cosec olarak da gösterilebilir).
$u=g(x)$ fonksiyonunun bir c noktasındaki türevi $u’$ olsun. Buna göre:
$f(x)=\sin u \Rightarrow f'(x)=u’.\cos u$
$f(x)=\cos u \Rightarrow f'(x)=-u.\sin u$
$f(x)=\tan u \Rightarrow f'(x)=u’.\sec^{2} u$ veya $f(x)=\tan u \rightarrow f'(x)=u’.(1+\tan^{2} u)$
$f(x)=\cot u \Rightarrow f'(x)=-u’.\csc^{2} u$ veya $f(x)=\cot u \rightarrow f'(x)=-u’.(1+\cot^{2} u)$
$f(x)=\arctan x \Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}, x \in \mathbb{R}$
$f(x)=arccot x \Rightarrow f'(x)=\dfrac{-1}{1+x^{2}}, x \in \mathbb{R}$
$u=g(x)$ fonksiyonunun bir c noktasındaki türevi $u’$ olsun. Buna göre:
$f(x)=\arcsin u \Rightarrow f'(x)=\dfrac{u’}{\sqrt{1-u^{2}}}$
$f(x)=\arccos u \Rightarrow f'(x)=\dfrac{-u’}{\sqrt{1-u^{2}}}$
$f(x)=\arctan u \Rightarrow f'(x)=\dfrac{u’}{1+u^{2}}$
$f(x)=arccot x \Rightarrow f'(x)=\dfrac{-u’}{1+u^{2}}$
Logaritmik fonksiyonların türevleri
$y=log_{a}^{x}$ fonksiyonu her $x \in \mathbb{R^{+}}$ noktasında türevlidir ve türevi $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x.\ln a}$ şeklindedir.
$y=\ln x$ fonksiyonu her $x \in \mathbb{R^{+}}$ noktasında türevlidir ve türevi $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}$ şeklindedir.
$u=g(x)$ fonksiyonunun bir c noktasındaki türevi $u’$ olsun.
Buna göre: $y=log_{a}^{u} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u’}{u}.\dfrac{1}{\ln a}$ şeklindedir. $y=\ln u \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u’}{u}$ şeklindedir.
Üstel fonksiyonun türevi
$a > 0$ ve $a \neq 1$ olmak üzere $y=a^{x}$ biçiminde tanımlanan üstel fonksiyon her $x \in \mathbb{R}$ noktasında türevlidir ve türevi $\dfrac{dy}{dx}=a^{x}\ln a$ şeklindedir. Burada özel olarak $a=e$ alınırsa $y=e^{x} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=e^{x}$ olur.
$u=g(x)$ fonksiyonunun bir c noktasındaki türevi $u’$ olsun. Buna göre: $y=a^{u} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=a^{u}.\ln a.u’$ ve $y=e^{u} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=e^{u}.u’$ olur.
$y=[u(x)]^{v(x)}$ biçimindeki fonksiyonların türevleri alınırken önce her iki yanın logaritması, sonra her iki yanın x’e göre türevi alınır.
Kapalı fonksiyonun türevi
$F(x,y)=0$ bağıntısından en az bir $y=f(x)$ fonksiyonu tanımlanabiliyorsa, bu bağıntıya y’nin x’e göre kapalı fonksiyonu denir. Çoğu kez bu bağıntıdan y, x türünden çözülemez. $y=f(x)$ fonksiyonunun türevini hesaplamak için birkaç yol vardır.
1. Mümkünse verilen bağıntıdan y çekilir, türev alınır.
2. $F(x,y)=0$ bağıntısında her terimin x’e göre türevi alınır. Burada y’nin x’e bağlı olduğu unutulmamalıdır.
3. y sabit tutularak ve x’e göre türev alınarak $F’_{x}$, x sabit tutularak ve y’ye göre türev alınarak $F’_{y}$ bulunur. Böylece kapalı fonksiyonun türevi $-\dfrac{F’_{x}}{F’_{y}}$ olarak bulunur.
Parametrik olarak tanımlanan fonksiyonun türevi
$y=f(x)$ fonkisyonu, $y=g(t)$ ve $x=h(t)$ biçiminde t parametresine bağlı olarak verilmişse türevi
$y’=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\dfrac{g'(t)}{h'(t)}$
olarak bulunur.